FUNGSI VEKTOR, DIFERENSIAL VEKTOR, DAN INTEGRAL VEKTOR

 Feti Andira, 12-221-051, IKIP Mataram

BAB I

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

Dalam kenyataannya kita tidak hanya bekerja dengan sesuatu yang statis, tetapi seingkali kita juga bekerja dengan sesuatu yang bersifat dinamis. Arti bergerak adalah sesuatu ( sebuah materi ) mengalami perpindahan dari suatu titik ke titik berikutnya, dari suatu koordinat ke koordinat yang lainnya. Perpindahan materi ini dapat terjadi dalam sebuah bidang ( R² ) atau dalam ruang ( Rⁿ ).

Pembahasan lebih lanjut menunjukkan bahwa materi yang bergerak memiliki kekhasan, terutama dalam pembahasan kalkulusnya ( diferensial dan integral ). Artinya, terdapat perbedaan pengkajian antara materi yang bergerak dan materi yang tidak bergerak. Kekhasan ini timbul karena materi bergerak ( dinamis ) pastilah akan juga memuat arah. Sedangkan materi yang tidak bergerak tidak memuat arah. Sehingga kajian diferensial maupun integral dari suatu  materi yang bergerak ini mutlak mempertimbangkan juga masalah arah gerakannya.

Materi fungsi vector, differensial vector dan integral vector ini saling berkaitan satu sama lain. Selain itu, ketika membahas tentang vector akan selalu berhubungan dengan ketiga materi tersebut. Oleh karena itu, untuk memahami lebih dalam materi – materi tentang vector, maka seharusnya kita mempelajari terlebih dahulu  materi fungsi vector, diferensial vector, dan integral vector.

B.       Perumusan masalah

Adapun beberapa masalah yang dapat dirumuskan, yaitu sebagai berikut :

1.      Apakah pengertian dari fungsi vector, dan pembahasan lebih rinci tentang fungsi vector ?

2.      Apakah pengertian dari diferensial vector, dan pembahasan materinya ?

3.      Apakah pengertian dari integral vector, dan pembahasan materinya ?

C.       Tujuan

1.      Untuk membahas tentang pengertian dari fungsi vector, dan pembahasan lebih rinci tentang fungsi vector.

2.      Untuk membahas tentang pengertian dari diferensial vector, dan pembahasan materinya.

3.      Untuk membahas tentang pengertian dari integral vector, dan pembahasan materinya.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Fungsi Vektor

Secara umum fungsi adalah aturan yang memadankan setiap elemen didaerah asal (domain) pada tepat satu elemen didaerah hasil (kodomain). Fungsi bernilai vector atau fungsi vector adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan bilangan real dan daerah hasilnya merupakan himpunan vector. Secara notasi matematika dapat dituliskan sebagai berikut:

f: R→

Definisi :suatu fungsi vector dalam dua demensi adalah himpunan F yang merupakan pasangan terurut (t,X) sedemikian sehingga setiap bilangan real t akan memenuhi salah satu dari pernyataan berikut:

a.             Akan terdapat tepat satu vector xdalam dua demensi dimana dimana pasangan terurut (t,X) anggota F. maka dalam kondisi ini F(t) terdefinisi dan F(t) = X

b.             Tidak terdapat vector X sehingga (t,X) anggota F. dalam kondisi ini F(t) tidak terdefenisi

Suatu fungsi vector F(t) diruang 2 dapat diuraikan sebagai jumlahan komponen – komponennya, yaitu:

F(t) = f₁(t)i + f₂(t)j

Persamaan vector X = F(t) dapat juga dinyatakan dalam pasangan persamaan parametric, yaitu:

x=f₁(t) , y=f₂(t)

Dalam hal ini, t adalah bilangan real. Titik X(x,y) merupakan kurva parametrik dalam bidang XOY. Selanjutnya fungsi bernilai vector F(t) disebut vector posisi dari kurva tersebut.

Jika f(t),g(t) dan h(t) adalah komponen dari vector r(t), maka f,g,h adalah fungsi bernilai real yang isebut fungsi komponen dari r.berdasarkan konsep yang telah diuraikan diatas maka kita dapat menuliskan,

r (t) = (f(t),g(t), h(t)) = f(t)i + g(t)j +h(t)k

Definisi : suatu garis yang dinyatakan dalam persamaan X = P+tC adalah kurva parametric dengan vector posisi F(t) = P + tC. Dalam hal ini komponen – komponen F(t) adalah:

f₁(t) = P₁ + tC₁ ,                    f₂(t) = P₂ + tC₂

contoh:

tentukan persamaan vector dari suatu partikel yang bergerak searah jarum jam membentuk lintasan berbentuk linkaran. Dalam hal ini posisi partikel pada titik A(1,0) pada saat t=0, yang ditunjukkan pada gambar berikut :

Seandainya lintasan partikel ini berupa lingkaran berjari – jari r maka setiap koordinatnya dapat dinyatakan sebagai persamaan – persaman dalam t, yaitu:

x = r cos t , y = r sin t

Sehingga persamaan vector dapat dinyatakan sebagai :

x= r cos ti + r sin tj

Sehingga dapat disimpulkan bahwa x = r cos ti + r cost j adalah persamaan vector dari gerakan partikel yang diharapkan

Limit Fungsi Vektor Dan Kurva Ruang

Definisi : jika r(t) = (f(t) , g(t) , h(t)), maka :

Dari definisi diatas dapat dijelaskan bahwa jika vector r(t)diuraikan dalm fungsi – fingsi komponennnya yaitu:

r (t) = f(t)I +g(t)j + h(t)k

maka

Sebagai contoh, misalkan diberikan vector r(t) sebagai berikut

r(t) = (1+t³)I + te^-1j +

maka carilah  menurut definisi 3.3 ini, limit dari r adalah vector yang komponennya berupa limit – limit dari fungsi komponen r.

Dari konsep kalkulus dinyatakan bahwa, fungsi vector r kontinu di a jika

Dalam hal t berubah maka  adalah sebuah vector yang searah dengan  Δr. Jika Δt → 0 maka  maka limitnya akan merupakan sebuah vector yang searah dengan garis singgung pada kurva di (x,y,z) dan diberikan oleh

Bila t merupakn variable waktu, maka menyatakan kecepatan V yang mana titik terminal dari r menggambarkan kurvanya.

B.     Differensial Vektor

1.      Diferensial Biasa Dari Vektor

Diferensial fungsi vector didefinisikan sebagai diferensial setiap komponennnya. Pada bagian ini fungsi vector didefinisikan pada ruang_3. Untuk fungsi vector diruan_2 adalah analog.

Definisi: dalam ruang_3, jika diberikan fungsi bernilai vector sembarang R(t) = x(t)I + y(t)j + z(t)k, maka turunan r’ didefinisikan sebagai :

Jika limit ini ada,

Definisi diatas menyatakan bahwa jika pada ruang_3 didefinisikan fungsi bernilai vector r(t). vector r(t) dapat diuraikan dalam komponen – komponennya, yaitu

r (t) = x(t)I + y(t)j + z(t)k

maka turunan vector r(t) dapat dinyatakan sebagai

r’(t) = x’(t)i + y’(t)j + z’(t)k

=

Dalam hal ini r’(t) ada jika dan hanya jika x’(t), y’(t), dan z’(t) ada.

Sebagai contoh jika diberikan vector x= t³i+ , maka turunan dari vector x terhadap variable t dinyatakan sebagaai berikut:

Selanjutnya  tidak tedefinisi untuk t = -1

2.      Garis Singgung Kurva Dan Vektor Singgung Kurva

Misalkan disefinisikan fungsi vector r(t) yang analitik pada kurva C. fungsi kurva r(t) ini kontinu dan mempunyai turunan terhadap t. misalkan diambil sebarang dua titik pada kurva C ini, yaitu titik A dan B.

Jika titik – titik P dan Q mempunyai vector posisi r(t) dan r(t + dt), maka vector PQ menyatakan vector

r (t + Δt) – r(t)

yang dengan demikian dapat dipandang sebagai suatu vector tali busur (secant vector). Jika Dt > 0, maka kelipatan scalar  mempunyai arah yang sama seperti r(t + Δt) – r(t). pada saat Δt →0 tampak bahwa vector ini mendekati suatu vector yang terletak pada garis singgungnya. Oleh karena itu, vector r’(t) deisebut vector singggung (tangent vector) terhadap kurva yang didefinisikan oleh r di titik P, asalkan r’(t) ada dan r’(t) ≠ 0. Garis singgung terhadap C di P didefinisikan sebagai garis melalui P yang sejajar terhadap vector singgung r’(t).

berikut ini diberikan teorema yang menunjukkan arti geometri dari turunan vector.

Teorema: diberikan kurva X = F(t) dalam bidang. Jika F’(t) ≠ 0 maka F’(t₀) adalah vector arah dari garis tangent / garis singgung kurva di t₀.

Bukti: untuk menunjukkan F’(t₀) adalah vector arah dari garis tangent / garis singgung kurva di t_0.

Definisi :jika X = F(t) adalah suatu kurva diruang, dan F’(t₀)≠0, maka garis singgung dari kurva tersebut ditik t₀ adalah suatu garis yang posisinya dinyatakan oleh vector F(t₀) dan arahnya dinyatakan oleh vector F’(t₀). Selanjutnya vector – vector F’(t₀) ini disebut vector singgung / tangent vector dari kurva X dititik t₀.

Jika diberika suatu kurva berbentuk spiral yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vector berikut:

F(t) = costi +sintj+1/4tk

Maka andaikan akan ditentukan persamaan garis singgung vector dititk t₀=p/3.dalam hal ini harus ditentukan fungsi vector f’(t₀),di t₀=p/3, yaitu

F’(  p/3)= - sin ti + costj +1/4 tk

      = k

Turunan fungsi vector f’(t₀)ini menyatakan panjang dari suatu kurva

Sehingga persamaan garis singgung kurva X di titik t₀ =p/3 adalah

X=f(P/3) + f’(p/3)

      =

Kita telah melihat bahwa arah dari suatu turunan vector menyatakan suatu garis singung kurva. Selanjutnya akan diberikan konsep panjang dari garis singgung kurva. Misalkan semua turunan parsial dx/dt, dy/dt, dan dz/dt dari suatu vector adalah continu pada suatu interval t = [a, b]. Kita ingat kembali konsep kalkulus, bahwa dalam ruang -2 panjang dari suatu kurva dinyatakan sebagai integral :

 

Sehingga panjang pada kurva pada ruang -3 adalah analog, yaitu:

 

Teorema: Misalkan x =f(t) adalah suatu kurva diruang sedemikian sehingga semua turunan parsialnya dx/dt, dy/dt, dz/dt adalah kontinu pada suatu interval t = [a,b]. maka turunan vector nya dx/dt mempunyai panjang ds/dt, dimana s adalah panjang kurva dari ake b yaitu:

|dx/dt|=ds/dt

Bukti: akan ditunjukkan bahwa turunan vektornya dx/dt mempunyai panjang ds/dt.

 

Dan

 

Sehingga

  | |

Dari konsep di atas menghasilkan suatu definisi, yaitu :

Definisi : jika suatu partikel bergerak dalam ruang dan vector posisi dari partikel adalah s= f(t), maka turunan suatu vector posisi s disebut kecepatan vector yaitu v = ds/dt

Definisi : turunan kedua dari vector posisi S disebut percepatan. Dinotasikan sebagai a

Misalkan vector posisi dari suatu partikel yang bergerak sepanjang lintasan berbentuk lingkaran dinyatakan sebagai

S=cos ti + sin tj

Maka dapat dinyatakan hal – hal sebagai berikut

Kecepatan : v=-sin ti +cos tj

Percepatan : a= -cos ti +( -sin tj )

3.      Vektor Singgung Satuan dan Vektor-Vektor Normal Kurva

Setelah kita mempelajari konsep garis singgung kurva dan vektor singgungnya, maka kita sampai pada konsep kedua. Konsep yang kedua adalah (a) konsep vektor singgung satuan pada kurva dan (b) Vektor-vektor normal kurva.

Pertama kita akan meninjau vektor singgung satuan (unit tangent vektor). Dalam hal ini vektor singgung satuan didefinisikan dalam bentuk persamaan, yakni :

Disuatu titik pada suatu kurva yang mulus r(t), terdapat banyak vektor yang orthogonal terhadap vektor singgung satuan T(t). kita mengkhususkan salah satu dengan mengamati bahwa karena  untuk semua t, maka kita mempunyai

Sehingga  ortogonal terhadap T(t). Catat bahwa  sendiri bukanlah vektor satuan. Tetapi jika  juga mulus, kita dapat mendefinisikan vektor normal satuan sebagai :

Sedangkan vektor yang tegak lurus terhadap T maupun N dinamakan vektor binormal (B) juga merupakan vektor satuan. Maka dalam hal ini vektor binormal B didefinisikan sebagai :

Hal ini dapat divisualisasikan secara geometric seperti Gambar berikut ini:

Contoh :

Carilah vektor normal satuan dan vektor binormal satuan untuk heliks melingkar

r(t) = cos t I + sin t j + t k

Penyelesaian:

kita daftarkan unsur-unsur yang diperlukan untuk vektor normal satuan

(t) = sin t i + cos t j + k  dan | (t) | =

T (t) =  =  (-sin ti + cost j + k)

(t) =  (-cosi – sintj) dan | (t)=

 (t) =  

Ini memperlihatkan bahwa vektor normal di sebuah titik pada heliks adalah horizontal dan menunujukkan kea rah sumbu-z. vektor binormalnya adalah

Teorema berikut memberikan sebuah metode yang tepat untuk menghitung turunan dari suatu fungsi vector r; didiferensialkan saja masing-masing komponen dari r. Teorema 3c:  dengan  dan  adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka :

Bukti :

Teorema berikut memperlihatkan bahwa rumus differensial untuk fungsi bernilai real mempunyai rumus rekanannya untuk fungsi bernilai vector.

Teorema : Andaikan u(t), v(t) dan w(t) fungsi bernilai vector yang terdiferensialkan, c adalah suatu scalar dan f(t) fungsi bernilai real, maka berlaku

a)     

b)     

c)     

d)    

 

BAB I

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

Dalam kenyataannya kita tidak hanya bekerja dengan sesuatu yang statis, tetapi seingkali kita juga bekerja dengan sesuatu yang bersifat dinamis. Arti bergerak adalah sesuatu ( sebuah materi ) mengalami perpindahan dari suatu titik ke titik berikutnya, dari suatu koordinat ke koordinat yang lainnya. Perpindahan materi ini dapat terjadi dalam sebuah bidang ( R² ) atau dalam ruang ( Rⁿ ).

Pembahasan lebih lanjut menunjukkan bahwa materi yang bergerak memiliki kekhasan, terutama dalam pembahasan kalkulusnya ( diferensial dan integral ). Artinya, terdapat perbedaan pengkajian antara materi yang bergerak dan materi yang tidak bergerak. Kekhasan ini timbul karena materi bergerak ( dinamis ) pastilah akan juga memuat arah. Sedangkan materi yang tidak bergerak tidak memuat arah. Sehingga kajian diferensial maupun integral dari suatu  materi yang bergerak ini mutlak mempertimbangkan juga masalah arah gerakannya.

Materi fungsi vector, differensial vector dan integral vector ini saling berkaitan satu sama lain. Selain itu, ketika membahas tentang vector akan selalu berhubungan dengan ketiga materi tersebut. Oleh karena itu, untuk memahami lebih dalam materi – materi tentang vector, maka seharusnya kita mempelajari terlebih dahulu  materi fungsi vector, diferensial vector, dan integral vector.

B.       Perumusan masalah

Adapun beberapa masalah yang dapat dirumuskan, yaitu sebagai berikut :

1.      Apakah pengertian dari fungsi vector, dan pembahasan lebih rinci tentang fungsi vector ?

2.      Apakah pengertian dari diferensial vector, dan pembahasan materinya ?

3.      Apakah pengertian dari integral vector, dan pembahasan materinya ?

C.       Tujuan

1.      Untuk membahas tentang pengertian dari fungsi vector, dan pembahasan lebih rinci tentang fungsi vector.

2.      Untuk membahas tentang pengertian dari diferensial vector, dan pembahasan materinya.

3.      Untuk membahas tentang pengertian dari integral vector, dan pembahasan materinya.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Fungsi Vektor

Secara umum fungsi adalah aturan yang memadankan setiap elemen didaerah asal (domain) pada tepat satu elemen didaerah hasil (kodomain). Fungsi bernilai vector atau fungsi vector adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan bilangan real dan daerah hasilnya merupakan himpunan vector. Secara notasi matematika dapat dituliskan sebagai berikut:

f: R→

Definisi :suatu fungsi vector dalam dua demensi adalah himpunan F yang merupakan pasangan terurut (t,X) sedemikian sehingga setiap bilangan real t akan memenuhi salah satu dari pernyataan berikut:

a.             Akan terdapat tepat satu vector xdalam dua demensi dimana dimana pasangan terurut (t,X) anggota F. maka dalam kondisi ini F(t) terdefinisi dan F(t) = X

b.             Tidak terdapat vector X sehingga (t,X) anggota F. dalam kondisi ini F(t) tidak terdefenisi

Suatu fungsi vector F(t) diruang 2 dapat diuraikan sebagai jumlahan komponen – komponennya, yaitu:

F(t) = f₁(t)i + f₂(t)j

Persamaan vector X = F(t) dapat juga dinyatakan dalam pasangan persamaan parametric, yaitu:

x=f₁(t) , y=f₂(t)

Dalam hal ini, t adalah bilangan real. Titik X(x,y) merupakan kurva parametrik dalam bidang XOY. Selanjutnya fungsi bernilai vector F(t) disebut vector posisi dari kurva tersebut.

Jika f(t),g(t) dan h(t) adalah komponen dari vector r(t), maka f,g,h adalah fungsi bernilai real yang isebut fungsi komponen dari r.berdasarkan konsep yang telah diuraikan diatas maka kita dapat menuliskan,

r (t) = (f(t),g(t), h(t)) = f(t)i + g(t)j +h(t)k

Definisi : suatu garis yang dinyatakan dalam persamaan X = P+tC adalah kurva parametric dengan vector posisi F(t) = P + tC. Dalam hal ini komponen – komponen F(t) adalah:

f₁(t) = P₁ + tC₁ ,                    f₂(t) = P₂ + tC₂

contoh:

tentukan persamaan vector dari suatu partikel yang bergerak searah jarum jam membentuk lintasan berbentuk linkaran. Dalam hal ini posisi partikel pada titik A(1,0) pada saat t=0, yang ditunjukkan pada gambar berikut :

Seandainya lintasan partikel ini berupa lingkaran berjari – jari r maka setiap koordinatnya dapat dinyatakan sebagai persamaan – persaman dalam t, yaitu:

x = r cos t , y = r sin t

Sehingga persamaan vector dapat dinyatakan sebagai :

x= r cos ti + r sin tj

Sehingga dapat disimpulkan bahwa x = r cos ti + r cost j adalah persamaan vector dari gerakan partikel yang diharapkan

Limit Fungsi Vektor Dan Kurva Ruang

Definisi : jika r(t) = (f(t) , g(t) , h(t)), maka :

Dari definisi diatas dapat dijelaskan bahwa jika vector r(t)diuraikan dalm fungsi – fingsi komponennnya yaitu:

r (t) = f(t)I +g(t)j + h(t)k

maka

Sebagai contoh, misalkan diberikan vector r(t) sebagai berikut

r(t) = (1+t³)I + te^-1j +

maka carilah  menurut definisi 3.3 ini, limit dari r adalah vector yang komponennya berupa limit – limit dari fungsi komponen r.

Dari konsep kalkulus dinyatakan bahwa, fungsi vector r kontinu di a jika

Dalam hal t berubah maka  adalah sebuah vector yang searah dengan  Δr. Jika Δt → 0 maka  maka limitnya akan merupakan sebuah vector yang searah dengan garis singgung pada kurva di (x,y,z) dan diberikan oleh

Bila t merupakn variable waktu, maka menyatakan kecepatan V yang mana titik terminal dari r menggambarkan kurvanya.

B.     Differensial Vektor

1.      Diferensial Biasa Dari Vektor

Diferensial fungsi vector didefinisikan sebagai diferensial setiap komponennnya. Pada bagian ini fungsi vector didefinisikan pada ruang_3. Untuk fungsi vector diruan_2 adalah analog.

Definisi: dalam ruang_3, jika diberikan fungsi bernilai vector sembarang R(t) = x(t)I + y(t)j + z(t)k, maka turunan r’ didefinisikan sebagai :

Jika limit ini ada,

Definisi diatas menyatakan bahwa jika pada ruang_3 didefinisikan fungsi bernilai vector r(t). vector r(t) dapat diuraikan dalam komponen – komponennya, yaitu

r (t) = x(t)I + y(t)j + z(t)k

maka turunan vector r(t) dapat dinyatakan sebagai

r’(t) = x’(t)i + y’(t)j + z’(t)k

=

Dalam hal ini r’(t) ada jika dan hanya jika x’(t), y’(t), dan z’(t) ada.

Sebagai contoh jika diberikan vector x= t³i+ , maka turunan dari vector x terhadap variable t dinyatakan sebagaai berikut:

Selanjutnya  tidak tedefinisi untuk t = -1

2.      Garis Singgung Kurva Dan Vektor Singgung Kurva

Misalkan disefinisikan fungsi vector r(t) yang analitik pada kurva C. fungsi kurva r(t) ini kontinu dan mempunyai turunan terhadap t. misalkan diambil sebarang dua titik pada kurva C ini, yaitu titik A dan B.

Jika titik – titik P dan Q mempunyai vector posisi r(t) dan r(t + dt), maka vector PQ menyatakan vector

r (t + Δt) – r(t)

yang dengan demikian dapat dipandang sebagai suatu vector tali busur (secant vector). Jika Dt > 0, maka kelipatan scalar  mempunyai arah yang sama seperti r(t + Δt) – r(t). pada saat Δt →0 tampak bahwa vector ini mendekati suatu vector yang terletak pada garis singgungnya. Oleh karena itu, vector r’(t) deisebut vector singggung (tangent vector) terhadap kurva yang didefinisikan oleh r di titik P, asalkan r’(t) ada dan r’(t) ≠ 0. Garis singgung terhadap C di P didefinisikan sebagai garis melalui P yang sejajar terhadap vector singgung r’(t).

berikut ini diberikan teorema yang menunjukkan arti geometri dari turunan vector.

Teorema: diberikan kurva X = F(t) dalam bidang. Jika F’(t) ≠ 0 maka F’(t₀) adalah vector arah dari garis tangent / garis singgung kurva di t₀.

Bukti: untuk menunjukkan F’(t₀) adalah vector arah dari garis tangent / garis singgung kurva di t_0.

Definisi :jika X = F(t) adalah suatu kurva diruang, dan F’(t₀)≠0, maka garis singgung dari kurva tersebut ditik t₀ adalah suatu garis yang posisinya dinyatakan oleh vector F(t₀) dan arahnya dinyatakan oleh vector F’(t₀). Selanjutnya vector – vector F’(t₀) ini disebut vector singgung / tangent vector dari kurva X dititik t₀.

Jika diberika suatu kurva berbentuk spiral yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vector berikut:

F(t) = costi +sintj+1/4tk

Maka andaikan akan ditentukan persamaan garis singgung vector dititk t₀=p/3.dalam hal ini harus ditentukan fungsi vector f’(t₀),di t₀=p/3, yaitu

F’(  p/3)= - sin ti + costj +1/4 tk

      = k

Turunan fungsi vector f’(t₀)ini menyatakan panjang dari suatu kurva

Sehingga persamaan garis singgung kurva X di titik t₀ =p/3 adalah

X=f(P/3) + f’(p/3)

      =

Kita telah melihat bahwa arah dari suatu turunan vector menyatakan suatu garis singung kurva. Selanjutnya akan diberikan konsep panjang dari garis singgung kurva. Misalkan semua turunan parsial dx/dt, dy/dt, dan dz/dt dari suatu vector adalah continu pada suatu interval t = [a, b]. Kita ingat kembali konsep kalkulus, bahwa dalam ruang -2 panjang dari suatu kurva dinyatakan sebagai integral :

 

Sehingga panjang pada kurva pada ruang -3 adalah analog, yaitu:

 

Teorema: Misalkan x =f(t) adalah suatu kurva diruang sedemikian sehingga semua turunan parsialnya dx/dt, dy/dt, dz/dt adalah kontinu pada suatu interval t = [a,b]. maka turunan vector nya dx/dt mempunyai panjang ds/dt, dimana s adalah panjang kurva dari ake b yaitu:

|dx/dt|=ds/dt

Bukti: akan ditunjukkan bahwa turunan vektornya dx/dt mempunyai panjang ds/dt.

 

Dan

 

Sehingga

  | |

Dari konsep di atas menghasilkan suatu definisi, yaitu :

Definisi : jika suatu partikel bergerak dalam ruang dan vector posisi dari partikel adalah s= f(t), maka turunan suatu vector posisi s disebut kecepatan vector yaitu v = ds/dt

Definisi : turunan kedua dari vector posisi S disebut percepatan. Dinotasikan sebagai a

Misalkan vector posisi dari suatu partikel yang bergerak sepanjang lintasan berbentuk lingkaran dinyatakan sebagai

S=cos ti + sin tj

Maka dapat dinyatakan hal – hal sebagai berikut

Kecepatan : v=-sin ti +cos tj

Percepatan : a= -cos ti +( -sin tj )

3.      Vektor Singgung Satuan dan Vektor-Vektor Normal Kurva

Setelah kita mempelajari konsep garis singgung kurva dan vektor singgungnya, maka kita sampai pada konsep kedua. Konsep yang kedua adalah (a) konsep vektor singgung satuan pada kurva dan (b) Vektor-vektor normal kurva.

Pertama kita akan meninjau vektor singgung satuan (unit tangent vektor). Dalam hal ini vektor singgung satuan didefinisikan dalam bentuk persamaan, yakni :

Disuatu titik pada suatu kurva yang mulus r(t), terdapat banyak vektor yang orthogonal terhadap vektor singgung satuan T(t). kita mengkhususkan salah satu dengan mengamati bahwa karena  untuk semua t, maka kita mempunyai

Sehingga  ortogonal terhadap T(t). Catat bahwa  sendiri bukanlah vektor satuan. Tetapi jika  juga mulus, kita dapat mendefinisikan vektor normal satuan sebagai :

Sedangkan vektor yang tegak lurus terhadap T maupun N dinamakan vektor binormal (B) juga merupakan vektor satuan. Maka dalam hal ini vektor binormal B didefinisikan sebagai :

Hal ini dapat divisualisasikan secara geometric seperti Gambar berikut ini:

Contoh :

Carilah vektor normal satuan dan vektor binormal satuan untuk heliks melingkar

r(t) = cos t I + sin t j + t k

Penyelesaian:

kita daftarkan unsur-unsur yang diperlukan untuk vektor normal satuan

(t) = sin t i + cos t j + k  dan | (t) | =

T (t) =  =  (-sin ti + cost j + k)

(t) =  (-cosi – sintj) dan | (t)=

 (t) =  

Ini memperlihatkan bahwa vektor normal di sebuah titik pada heliks adalah horizontal dan menunujukkan kea rah sumbu-z. vektor binormalnya adalah

Teorema berikut memberikan sebuah metode yang tepat untuk menghitung turunan dari suatu fungsi vector r; didiferensialkan saja masing-masing komponen dari r. Teorema 3c:  dengan  dan  adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka :

Bukti :

Teorema berikut memperlihatkan bahwa rumus differensial untuk fungsi bernilai real mempunyai rumus rekanannya untuk fungsi bernilai vector.

Teorema : Andaikan u(t), v(t) dan w(t) fungsi bernilai vector yang terdiferensialkan, c adalah suatu scalar dan f(t) fungsi bernilai real, maka berlaku

a)     

b)     

c)     

d)