Pengantar Dasar Pendidikan " HIMPUNAN "

BAB I

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

Ilmu matematika merupakan ilmu yang dekat dengan kehidupan sehari – hari. Dari sekian banyak materi dalam matematika, salah satu yang sangat dekat dengan kehidupan manusia adalah himpunan.

Teori himpunan merupakan kajian yang cukup strategis di dalam matematika. Hampir di setiap cabang di dalam matematika, himpunan senantiasa memegang peranan penting, berawal dari himpunan ini dapat di bentuk suatu hubungan atau relasi, struktur aljabar atau sistem matematika dan sebagainya.

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa Ilmu Komunikasi Universitas Budidarma, kumpulan koran bekas, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata himpunan, kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama. Pengertian himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada pengertian himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Tetapi dalam matematika dapat dibuat definisinya. Kata himpunan dan kumpulan digunakan dalam definisi secara bersamaan, meskipun keduanya mempunyai arti yang sama. Demikian pula dengan kata himpunan dan koleksi. Akan tetapi, karena begitu pentingnya materi himpunan dalam mempelajari matematika, oleh karena itu perlu dilakukan pengkajian tentang himpunan seperti tentang pengenalan himpunan, cara penulisan himpunan, macam – macam himpunan, dan lain – lain.

B.       Perumusan Masalah

Adapun masalah – masalah yang dapat dirumuskan adalah sebagai berikut :

1.      Apakah pengertian himpunan ?

2.      Bagaimana istilah – istilah dan simbol suatu himpunan ?

3.      Bagaimana cara menggambar suatu himpunan dengan diagram venn ?

4.      Berapakah macam himpunan, dan bagaimana penjabaran dari beberapa macam himpunan tersebut ?

C.      Tujuan

Adapun tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut :

1.      Menjelaskan tentang pengertian himpunan 

2.      Menjelaskan tentang istilah – istilah dan simbol suatu himpunan .

3.      Menjelaskan tentang cara – cara menggambar suatu himpunan dengan diagram venn.

4.      Menjelaskan macam – macam himpunan dan penjelasan masing – masing dari beberapa macam himpunan tersebut.

BAB II

PEMBAHASAN

A.      Pengertian Himpunan

Secara sederhana, himpunan artinya kumpulan benda (objek). Pernahkah kamu memperhatikan benda-benda yang ada di rumahmu?. Jika kamu perhatikan, ternyata di rumahmu terdapat beberapa kumpulan benda yang jelas batasannya, antara lain:

1.      piring

2.      keluarga

3.      gelas

4.      kursi

5.      alat-alat elektronik, , dan sebagainya.

Suatu kumpulan benda (objek) tertentu dengan batasan yang jelas dalam matematika disebut himpunan.

Dalam matematika, suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, ..., Z. Benda-benda (objek) dari suatu himpunan tersebut ditulis di antara kurung kurawal dan dipisah dengan tanda koma, misalnya:

1.      A adalah nama bulan yang dimulai dengan huruf J, A = {Januari, Juni, Juli}.

2.      B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 7, maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3.      C adalah himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10, maka C = {3, 5, 7, 9).

Perhatikan untuk himpunan di atas:

1.      Himpunan A = {Januari, Juni, Juli}

Januari merupakan anggota A ditulis Januari Î A. Maret bukan anggota A (karena nama bulan tidak dimulai dengan huruf J) ditulis Maret Ï A.

2.      Himpunan B = {1, 2, 3, 4, 5} 1 anggota B ditulis 1 Î B, 7 bukan anggota B ditulis 7 Ï B

B.       Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan

Macam-macam himpunan bilangan di antaranya yang berikut ini:

1.      C = himpunan bilangan cacah, ditulis C = {0, 1, 2, , ...}

2.      A = himpunan bilangan asli, ditulis A = {1, 2, 3, 4, ...}

3.      Gn = himpunan bilangan genap positif, ditulis Gn = {2, 4, 6, 8, ...}

4.      G = himpunan bilangan ganjil positif, ditulis G = {1, 3, 5, 7, ...}

5.      P = himpunan bilangan prima, ditulis P = {2, 3, 5, 7, ...}

6.      K = himpunan bilngan komposit, ditulis K = {4, 6, 8, 9, ...}

7.      T = himpunan pangkat tiga bilangan asli, ditulis T = {1, 8, 27, ...}

8.      N = himpunan bilangan natural, ditulis N = { 0, 1, 2, 3, 4, … }

9.      Z = himpunan bilangan bulat, ditulis Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

10.  P = himpunan bilangan positif, ditulis P = { 1, 2, 3, 4, … }

C.      Cara Menyatakan Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan beberapa cara, yaitu:

1.      Kata-kata atau syarat keanggotaan, disebut juga cara deskripsi langsung.

2.      Mendaftarkan anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara tabulasi langsung.

3.      Notasi pembentuk himpunan langsung.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1.      A = {2, 4, 6, 8}

Himpunan A dapat dituliskan dalam bentuk:

A adalah himpunan bilangan genap antara 0 dan 10, atau A adalah himpunan empat bilangan genap yang pertama. Apabila anggota suatu himpunan disebutkan satu per satu, maka himpunan itu disebut dengan cara mendaftarkan anggota-anggota.

2.      L adalah himpunan bilangan kelipatan 5.

B adalah himpunan nama bulan yang dimulai dengan huruf M.

C adalah himpunan bilangan bulat antara –3 dan 2.

Dengan cara tabulasi atau mendaftarkan anggotanya satu per satu himpunan L, B, dan C dapat dituliskan dalam bentuk:

L = {5, 10, 15, 20, 25, ...}

B = {Maret, Mei}

C = {–2, –1, 0, 1}

Suatu himpunan yang banyak anggotanya tidak terhitung, lebih efektif apabila dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Cara ini dikenal dengan cara rule.

Dalam menyatakan suatu himpunan, biasanya menggunakan symbol – symbol sebagai berikut :

1.         Symbol Î ( baca : elemen dari )

Symbol ini digunakan untuk menyatakan bahwa suatu objek adalah anggota dari suatu himpunan tersebut.

Contoh : -1 Î Z : -1 adalah elemen dari himpunan bilangan bulat.

2.         Symbol Ï ( baca : bukan elemen dari )

Symbol ini digunakan untuk menyatakan bahwa suatu objek bukan merupakan anggota suatu himpunan tersebut.

Contoh : -2 Ï P : -2 bukan elemen dari himpunan bilangan bulat positif.

D.      Himpunan Semesta Dan Diagram Venn

1.      Himpunan Semesta

Misalkan kita diberikan suatu himpunan H = {kucing, kelinci, kuda, kerbau}. Anggotaanggota H dapat dikelompokkan ke dalam himpunan hewan berkaki empat, atau himpunan hewan menyusui, atau himpunan hewan berawalan huruf K. Himpunan-himpunan di atas disebut himpunan semesta dari himpunan H. Himpunan semesta pembicaraan biasanya dinotasikan dengan S. Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek yang dibicarakan.

2.      Diagram Venn

Himpunan dapat direpresentasikan dengan diagram venn. Penggunaan diagram ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. Himpunan semesta, yang beraggotakan seluruh objek yang penting, direpresentasikan dengan bentuk kontak dan di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran atau bentuk – bentuk geometris lainnya untuk merepresentasikan himpunan. Terkadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen dari suatu himpunan. Diagram venn sering pula digunakan untuk menggambarkan relasi antar himpunan.

Contoh :

Gambarkan diagram venn yang menggambarkan himpunan v, yaitu himpunan huruf vocal dalam bahasa Indonesia.

Jawaban :

Pertama gambarkan himpunan semesta U sebagai bentuk kotak, dalam hal ini U adalah himpunan huruf – huruf yang digunakan dalam bahasa Indonesia yaitu { a, b, c, d, e, …,x, y, z}. kemudian gambarkan sebuah lingkaran dalam kotak U untuk mempresentasikan V. di dalam V gambarkan titik – titik yang menyatakan elemen darai V yaitu a, i, o, u.

U

V ·      a       ·      o ·      u ·      i

 

Cara yang sangat bermanfaat dan sangat efektif untuk menyatakan himpunan-himpunan serta hubungan antara beberapa himpunan dalam semesta pembicaraan tertentu adalah dengan gambar himpunan yang disebut Diagram Venn.

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam membuat diagram Venn adalah sebagai berikut:

a.       Himpunan semesta biasanya digambarkan dengan persegi panjang dan lambang S ditulis pada sudut kiri atas gambar persegi panjang.

b.      Setiap himpunan lain yang dibicarakan (selain himpunan kosong) digambarkan dengan lingkaran (kurva tertutup).

c.       Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik) dan anggota himpunan ditulis di samping noktah tersebut.

E.       Macam – Macam Himpunan

1.      Himpunan Bagian

Dikatakan himpunan bagian apabila terdapat himpunan S dan T, S adalah himpunan bagian dari T apabila setiap elemen S terdapat pula di T, dan dinotasikan dengan S Í T.

Untuk memahami himpunan bagian, perhatikanlah himpunan berikut ini.

S = {semua siswa kelas VII di sekolahmu}

A = {semua siswa kelas VIIA di kelasmu}

B = {semua siswa perempuan VIIA di kelasmu}

C = {semua siswa laki-laki VIIA di kelasmu}

Dari contoh di atas diperoleh keterangan sebagai berikut:

a.       Himpunan B dan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A karena setiap anggota himpunan B dan C merupakan anggota himpunan A.

b.      Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S karena setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan S.

c.       Himpunan B bukan merupakan himpunan bagian dari himpuna C begitu juga sebaliknya, karena tidak ada anggota himpunan B yang merupakan anggota himpunan C dan sebaliknya.

2.      Himpunan Kosong

Himpunan kosong dilambangkan dengan symbol Æ, yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen.

Sekarang perhatikanlah himpunan-himpunan berikut ini.

M = himpunan kuda yang bertanduk.

N = himpunan bilangan prima yang habis dibagi 4.

L = himpunan bilangan prima antara 7 dan 11.

Dapatkah kamu menentukan berapa banyak anggota-anggota dari himpunan M, N, dan L?

Berapakah n(M), n(N), dan n(L)? Ternyata himpunan - himpunan di atas tidak mempunyai anggota. Himpunan-himpunan seperti di atas disebut himpunan kosong, yang dilambangkan dengan { } atau Ø .

Contoh himpunan kosong :

1.      { n Î Z : 2  < n < 3 }

Disebut himpunan kosong karena, tidak ada bilangan bulat antara 2 dan 3.

2.      { x Î N : x² < 0 }

Disebut himpunan kosong karena, tidak ada hasil kuadrat yang negatif.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jika himpunan K = {0}, himpunan K bukan merupakan himpunan kosong karena himpunan K mempunyai 1 anggota, yaitu bilangan 0.

Lemma ! “ Himpunan kosong adalah subset dari setiap sembarang himpunan “

 

Bukti :

Pada pembuktian, kita gunakan definisi tentang himpunan bagian dan implikasi. Apabila terdapat dua himpunan sembarang S dan T dimana S Í T, jika x Î S, maka x Î T. Kita analogikan Ø adalah S. Karena Ø tidak memiliki elemen, maka kita tahu pernyataan x Î Ø adalah salah. Sedangkan pernyataan x Î T adalah benar. Oleh karenanya, pernyataan “ jika x Î Ø, maka x Î T “ adalah benar. Terbukti bahwa Ø adalah subset dari sembarang himpunan.

3.      Himpunan Ekuivalen

Jika terdapat dua himpunan A dan himpunan B, himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal kedua himpunan tersebut sama.

Perhatikan uraian berikut. Di dalam sebuah kulkas (lemari es) terdapat 3 jenis minuman, yaitu susu, teh, dan sirup dan tiga jenis buah-buahan, yaitu,mengga, jeruk, dan apel. Sekarang kita misalkan jenis-jenis minuman adalah himpunan A dan jenis-jenis buah-buahan himpunan B, maka dapat ditulis:

A = {susu, teh, sirup}

B = (mangga, jeruk, apel}

Kalau kamu perhatikan kedua himpunan tersebut, apakah ada yang sama di antara keduanya?. Dari kedua himpunan tersebut yang sama adalah banyak anggotanya, yaitu samasama tiga, dapat ditulis n(A) = 3 dan n(B) = 3, jadi n(A) = n(B) = 3. Himpunan-himpunan yang banyak anggotanya sama disebut himpunan ekuivalen atau himpunan ekuipoten.

Diketahui: himpunan A = {1, 2, 3}, B = (a, b, c}, dan E = {1, 12 , 13 , 14} Di antara tiga himpunan ini mana yang ekuivalen? n(A) = 3, n(B) = 3, dan n(C) = 4. Jadi n(A) = n(B) = 3, maka himpunan A ekuivalen B. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:

Perhatikan uraian berikut.

Misalkan P = {0, 1, 2, 3}

A = Himpunan bilangan ganjil, juga anggota P.

B = Himpunan bilangan genap, juga anggota P.

C = Himpunan bilangan prima, juga anggota P.

D = Himpunan bilangan kurang dari 0, juga anggota P.

E = Himpunan bilangan kurang dari 4, juga anggota P.

Himpunan-himpunan A, B, C, D, dan E dibentuk dari himpunan P sehingga

a.       A Ì P

b.      D Ì P

c.       B Ì P

d.      E Ì P

e.       C Ì P

Jika hubungan himpunan-himpunan di atas dituliskan dengan cara mendaftarkan anggotaanggotanya, maka diperoleh:

a.       {1, 3} Ì {0, 1, 2, 3}

b.      { } Ì {0, 1, 2, 3}

c.       {0, 2} Ì {0, 1, 2, 3}

d.      {0, 1, 2, 3} Ì {0, 1, 2, 3}

e.       {2, 3} Ì {0, 1, 2, 3}

Dari uraian-uraian di atas, dapat kita lihat bahwa { } Ì {0, 1, 2, 3}. Jadi, Dan kita juga lihat bahwa {0, 1, 2, 3} Ì {0, 1, 2, 3}. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa, Himpunan A dan B dikatakan himpunan ekuivalen, jika anggota himpunan A dan himpunan B sama banyak.

4.      Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas. Sedangkan himpunan tak berhingga adalah himpunan yang anggotanya tidak terbatas.

Perhatikanlah himpunan-himpunan berikut.

a.       M = {–5, –4, –3, –2, –1, 0}

b.      N = {15, 16, 17, 18, ..., 50}

c.       O = {1, 3, 5, 7, 9, ...}

d.      P = (2, 4, 6, 8, ...}

Pada himpunan M di atas, semua anggota himpunan terdaftar, yaitu –5, –4, –3, –2, –1, 0. Banyak anggota himpunan M ada 6, dan dinotasikan dengan n(M) = 6. Pada himpunan N, tidak semua terdaftar, tapi anggota terakhir dituliskan, yaitu 50. Jika kamu hitung nilai dari 15, 16, 17, ... dan berakhir pada 50 anggotanya ada 36, dinotasikan dengan n(N) = 36. Himpunan M dan N disebut himpunan hingga atau himpunan berhingga. Kemudian coba perhatikan himpunan O dan P, kita tidak dapat menghitung banyak anggotanya, karena tidak diketahui anggota terakhir. Jadi, himpunan O dan P disebut himpunan tak hingga atau himpunan tak berhingga.

5.      Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa dari S adalah himpunan dari seluruh subset S dan dinotasikan dengan P ( S ).

Contoh : asumsikan S = { 0, 1, 2 }

Penyelesaian : maka, P ( S ) = { Ø, { 0 }, { 1 }, { 2 }, { 0, 1 }, { 0, 2 }, { 1, 2 }, { 0, 1, 2 } }

Selain memperhatikan apa saja yang menjadi elemen suatu himpunan, kita pun perlu mengetahui berapa banyak elemen dari suatu himpunan, yang juga merupakan ukuran besar dari suatu himpunan.

Jika himpunan S memiliki n buah elemen yang berbeda, maka S adalah himpunan berhingga, dan n adalah kardinalitas dari S. Kardinalitas dari S dinotasikan dengan   .

Contoh : hitunglah kardinalitas dari S = { 0, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 3, }

Penyelesaian : pada S jumlah elemen yang berbeda ada 6, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, dan 5. Maka,  = 6.

BAB III

PENUTUP

A.      Kesimpulan

Dari beberapa uraian materi di atas, dapat disimpulkan bahwa himpunan adalah kumpulan suatu objek yang memiliki batasan – batasan yang j   elas. Dalam penulisan suatu himpunan terdapat aturan – aturan atau tata cara tertentu yang perlu diperhatikan. Setelah memahami aturan penulisan himpunan, kemudian suatu himpunan akan disajikan dalam bentuk diagram venn. Penyajian data suatu himpunan ke dalam bentuk diagram venn memiliki aturan – aturan dan langkah – langkah yang perlu diperhatikan, sehingga data yang disampaikan dapat dimengerti oleh pembaca. Selain itu, terdapat beberapa jenis himpunan yaitu himpunan bagian, himpunan kosong, himpunan berhingga, himpunan tak berhingga, himpunan ekuivalen, dan lain – lain.

B.       Saran – Saran

Adapun saran – saran dari penulis, yaitu ilmu matematika itu luas dan menarik. Walaupun kebanyakan orang berfikir bahwa ilmu matematika tidak ada penerapan dalam kehidupan sehari – hari. Namun, anggapan tersebut kurang tepat karena ilmu matematika sebenarnya sangat dekat dengan keseharian kita, seperti materi himpunan dan materi matematika lainnya. Oleh karena itu, sebagai mahasiswa pendidikan matematika atau seseorang yang menyukai ilmu matematika, jangan henti – hentinya untuk tetap mengkaji ilmu matematika lebih dalam lagi dan diterapkan dalam kahidupan sehari – hari.